В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из
вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK—биссектриса CE.
Докажите, что CB = BE.

мамой клянусь

(0) Зачем?

(2)для тренировки сообразительности

угол ВСК = углу ВАС = а
угол КСЕ = 1/2 угла АВС = b/2

тогда угол ВЕС = 180 - (a+3b/2)

а из треугольника АВС (a + b) = 90

тогда угол ВЕС = 180 - (90 - b + 3b/2) = 90 - b/2 = a + b/2

Раз угол ВЕС = углу ЕСВ, то треугольник ВСЕ - равнобедренный с основанием ЕС, то есть ВЕ = ВС

Обозначим углы при вершинах A, B, C, буквами a, b, c. Тогда a = 180 - c - b = 180 - 90 - b = 90 - b
Угол ACK будет равен 180 - 90 - a = 90 - a = 90 - (90 - b) = b
Угол ECK будет равен половине ACK и равен b/2
Угол KCB = 180 - b - 90 = 90 - b
Угол ECB = b/2 + 90 - b = 90 - b/2
Угол CEB = 180 - b - (90 - b/2) = 90 - b/2
Углы ECB и CEB равны, следовательно треугольник ECB равнобедренный и CB = CE

(5) молодцом!

Что-то я попытался нарисовать, не выходит у меня равенство
http://zalil.ru/32997706

Задача относится где-то к 6 классу школьной программы. У меня даже возникла мысль, что на этот раз нас просто динамят :-)

(6) а чо эт мое решение не оценил?

Опс, СВ и ВЕ же сравнивают, а я на СЕ смотрю... тогда верно

(9) молодцом! ))

альфа - два угла при биссектрисе

угол А = углу КСВ
в треугольнике СКВ:
угол С = угол А + альфа
угол Е = 180 - АЕС = 180 - (180 - угол А - альфа) = А + альфа

А
.
|\
|.\
|  \
| . \
|    \
|  .  \
|      \
|   .   \
|        \
|    .    \
|          \
|     .     \
|            \
|      .      \
|            . +К
|       . .     \
L+ . . .  + О     \
|     .  |   .    \
|  .     |      .  \
C|________|__________\B
         Н
ABC - прямоугольный треугольник, C - Прямой
AO - биссектриса
HO - серединный перпендикуляр из CB
O - точка пересечения
OK и OL - перпендикуляры на AB и AC
Равенство треугольников
AOL = AOK - по св-ву биссектрисы
СOН = BOH - по св-ву сер.перпендикуляра
=> LOC = KOB (L,К - прямые, OL=OK, OC=OB)
Имеем равные углы (Против равных сторон)
OCH = OBH
OCL = OBК
=> Равны углы B=C
Прямой угол равен острому!!!

AO - биссектриса
HO - серединный перпендикуляр из CB
O - точка пересечения

ага, только она вне треугольника