Имеется уравнение X^2+Y^2=A, где A - целое
Вопросы у меня:
1. При каких целых A это уравнение имеет решение в рациональных числах (то есть X и Y рациональны)?
2. Если при некотором целом A уравнение имеет рациональное решение, то всегда ли оно имеет и целое решение?

это окружность с центром в 0;0 и радиусом SQRT( A )

(1) годная интерпретация, только как она к решению приближает?

1с трах? Смело.

> имеет решение в рациональных числах

все решения или хотя бы одно ?

(4) хотя бы одно, если одно есть, то есть и бесконечность решений

(корень(Х))^2+(корень(Y))^2 = X+Y = A
итак А = сумме подкоренных выражений)))

(6) и к чему это?

решение задачи

А=0

(5) при А = 1

есть пары :
(-1; 0)
(1;  0)
(0; -1)
(0;  1)

(8) пока далеко, очень
(9) (10) а также при A = 2,5,8,9,10...

(корень(3))^2+(корень(5))^2 = 8
где корень(3) и корень(5) - рациональные

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

(12) ерунду не пиши

ой, перепутал с действительными, сорри))))

(13) вспомнить все? ))

x = m1/n1
y = m2/n2

{ (m1 * n2) ^ 2 + (m2 * n1) ^ 2} / (n1 * n2) ^ 2 - должно быть целым

Ну хорошо, есть рациональные решения для уравнения X^2+Y^2=3?

если округляем, то да :)

Точно можно сказать, что если А является полным квадратом, то решение существует.

(16) это вектор решения твоей задачи

На самом деле минимум, это когда X и Y целые числа. Вот только это не охватывает все возможные X и Y подходящих к решению.

(21) это очень далеко от решения ))

(18). Нет решений у такого уравнения. Доказательство тут:
http://hans.math.upenn.edu/~shonkwil/courses/502/502_1.pdf

(0)Это уравнение в целых числах, при его решении нужно использовать утверждение, что квадрат целого числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

(25) в рациональных же сначала

(0)общего решения этой задачи нет, частные решения подбираются перебором. простейшее частное решение - 3, 4, 5. Это так называемые "пифагоровы тройки" (см в википедиии).

вот еще
(6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34),(21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)...

http://www.google.fi/imgres?imgurl=http://www.csgnetwork.com/righttri.gif&imgrefurl=http://www.csgnetwork.com/righttricalc.html&h=270&w=373&sz=3&tbnid=oTorkOVAbHwClM:&tbnh=90&tbnw=124&zoom=1&usg=__Kzkoiz6Adjgyz01Wpk1-gCZYofU=&docid=9F9GjhpPYWXI-M&sa=X&ei=WNtrUN2BFMKA4gSEsIDYAg&ved=0CDUQ9QEwBA&dur=283

(26)А для нахрена?В чем смысл?Зае*етесь решение искать, батенька...
А вот в целых понятно - нужно ограничить перебор, используя (25), например
x*x + y*y = 2012

(18)не имеет
Действительно, допустим, что
(a/b)^2 + (c/d)^2 = 3, при некоторых целых a, b, c, d.
Тогда
(ad)^2 + (bc)^2 = 3(bd)^2
n^2 + m^2 = 3*l^2 (2)
при некоторых целых m, n, l.
Допустим, что хотя бы одно из чисел n или m не делится на 3. Пусть это будет для определенности m. Тогда m = 3*k + 1 или m = 3*k - 1 для некоторого целого k. Тогда m^2 = 9*k^2 + 6*k + 1 или m^2 = 9*k^2 - 6*k + 1. То есть квадрат любого числа, не делящегося на 3, дает в остатке 1 при делении на 3. Поэтому  3*l^2 -  m^2 дает в остатке -1 при делении на 3. Однако n^2  = 3*l^2 -  m^2 и как уже указывали, квадрат целого числа n^2 при делении на 3 остаток -1 иметь не может. Получили противоречие.
Следовательно, оба числа m и n должны делиться на 3.
Пусть m = 3*m1 и n = 3*n1
Тогда (3* n1)^2 + (3*m1)^2 = 3*l^2
9(n1^2 + m1^2) = 3*l^2
3(n1^2 + m1^2) = l^2
Поскольку правая часть делится на 3, то l=l1*3 для некоторого l1 и
3(n1^2 + m1^2) = (3*l1)^2
n1^2 + m1^2 = 3*l1^2
Таким образом получаем, что если тройка целых чисел m, n, l удовлетворяет уравнению (2), то каждое из этих чисел делится на 3 и тройка целых чисел m1, n1, l1 опять удовлетворет уравнению (2) где m = 3*m1, n = 3*n1, l=l1*3
В таком случае тройка целых чисел m2, n2, l2 опять удовлетворет уравнению (2) где m1 = 3*m2, n = 3*n2, l=l2*3
Тройка целых чисел m3, n3, l3 опять удовлетворет уравнению (2) где m2 = 3*m3, n2 = 3*n3, l2=l3*3

Но мы не можем целое число делить до бесконечности на 3 и получать все новые и новые тройки чисел. Противоречие.

http://en.wikipedia.org/wiki/Special_right_triangles

Common Pythagorean triples

(20) реши x^2+y^2=49

http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_triangle

вот еще ) все гугл переводчиком умеют пользоваться)?

(33) (0;7) например ))

(33). Вот нетривиальное решение:

(28/5)^2 + (21/5)^2 = 49

для А являющегося полным квадратом и А^2 +1 решение в целых числах существуют.

Ребята, я в (0) в упор не вижу ограничения, что из A должен целочисленно извлекаться квадратный корень. Берите ЛЮБЫЕ целые X и Y и вы получите правильный ответ. Другое дело, что судя по (36) есть некое подмножество решений с нецелочисленными X и Y. Как его вычислить мне не ведомо, не математик я :)

(38) задача не в том, дается заранее A и надо "подобрать" X и Y, не для всех A можно "подобрать"