Пусть A и B - вещественнозначные квадратные матрицы такие, что A*B=B*A.

Верно ли, что det(A^2+B^2)>=0 ?

Поскольку А*B = В*А, то
(А^2 + B^2) = (A + iB)(A - iB),
где i - мнимая единица.
Следовательно
det(А^2 + B^2) = det(A + iB)*det(A - iB)
Не знаю, как с клавиатуры набрать знак сопряжения комплексного числа. Числа det(A + iB) и det(A - iB) являются взаимно сопряженными, поскольку это один и тот же полином от взаимно сопряженных переменных. Поэтому det(A + iB)*det(A - iB) есть вещественное число >= 0

det(А^2 + B^2) = det(A + iB)*det(A - iB) >= 0

(1)+ определитель det - это полином от коэффициентов матрицы. Поэтому det от сопряженной матрицы сопряжен с det исходной матрицы

(1) красавчик, а то эти 9*2=2*9

(2) После такого чувствуешь себя абсолютно пещерным неандертальцем, ибо последний раз произнес это слово при просмотре фильма "Матрица".